慶應義塾大学
2012年 理工学部 第5問
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$a>0$とし,$x$の$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める.また,$t \geqq 0$に対し,曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$,$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す.
(1) $S(0)=\fbox{ト}$である.
(2) $f(x)$は$x=\fbox{ナ}$で極小値をとる.曲線$y=f(x)$上にあり,$x$の値$\fbox{ナ}$に対応する点を$\mathrm{P}$とする.$a$の値が変化するとき,点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=\fbox{ニ} \ (x>0)$である.
(3) $S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$\fbox{ヌ}$となる.以下,$a$の値はこの範囲にあるとする.$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする.区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値,最小値をそれぞれ$M(a)$,$m(a)$とするとき,$M(a)+m(a)=\fbox{ネ}$となる.
(1) $S(0)=\fbox{ト}$である.
(2) $f(x)$は$x=\fbox{ナ}$で極小値をとる.曲線$y=f(x)$上にあり,$x$の値$\fbox{ナ}$に対応する点を$\mathrm{P}$とする.$a$の値が変化するとき,点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=\fbox{ニ} \ (x>0)$である.
(3) $S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$\fbox{ヌ}$となる.以下,$a$の値はこの範囲にあるとする.$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする.区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値,最小値をそれぞれ$M(a)$,$m(a)$とするとき,$M(a)+m(a)=\fbox{ネ}$となる.
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