産業医科大学
2012年 医学部 第2問
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座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする.中心が$\mathrm{O}$,半径が$1$の円を$C$とする.円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする.点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$,$\ell_2$とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) 直線$\ell_1$,$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を,点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい.
(2) 直線$\ell_1$,$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする.直線$\ell_1$,$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とし,線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする.ただし,点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは,点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$と一致する点とする.このとき,点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい.
(1) 直線$\ell_1$,$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を,点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい.
(2) 直線$\ell_1$,$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする.直線$\ell_1$,$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とし,線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする.ただし,点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは,点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$と一致する点とする.このとき,点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい.
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