山梨大学
2011年 工学部・生命環境(生命工) 第5問
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放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とする.定数$k \ (0<k<1)$に対して,$\mathrm{P}_1$と点$(0,\ k)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_2$とする.ただし,$\mathrm{P}_2$は$\mathrm{P}_1$とは異なる点とする.$\mathrm{P}_2$と点$(0,\ k^2)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3$とする.ただし,$\mathrm{P}_3$は$\mathrm{P}_2$とは異なる点とする.以下同様にして,自然数$n$に対し,$\mathrm{P}_n$と点$(0,\ k^n)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.ただし,$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$とは異なる点とする.
(1) $\mathrm{P}_{2n-1}$および$\mathrm{P}_{2n}$の座標を$n$と$k$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$l_n$とする.${l_{2n-1}}^2$および${l_{2n}}^2$を$n$と$k$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle k=\frac{1}{2}$のとき,無限級数${l_1}^2+{l_2}^2+\cdots +{l_n}^2+\cdots$の和を求めよ.
(1) $\mathrm{P}_{2n-1}$および$\mathrm{P}_{2n}$の座標を$n$と$k$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$l_n$とする.${l_{2n-1}}^2$および${l_{2n}}^2$を$n$と$k$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle k=\frac{1}{2}$のとき,無限級数${l_1}^2+{l_2}^2+\cdots +{l_n}^2+\cdots$の和を求めよ.
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