立教大学
2011年 理学部(全学部日程) 第2問
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座標平面上の直線$\ell$を$y=2x$,直線$m$を$\displaystyle y=-\frac{x}{2}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 点P$(x,\ y)$に対し,Pを通り$\ell$に垂直な直線と$\ell$との交点をQ$(x^\prime, y^\prime)$とする.また,Pを通り$m$に垂直な直線と$m$との交点をR$(x^{\prime\prime},\ y^{\prime\prime})$とする.このとき, \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つような行列$A,\ B$を求めよ.
(2) $A,\ B$を(1)で求めた行列とする.このとき,行列$C=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle\frac{14}{5} & -\displaystyle\frac{2}{5} \\ \\ -\displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{11}{5} \end{array} \right)$に対して$C=\alpha A+\beta B$をみたす実数$\alpha,\ \beta$を求めよ.
(3) $n$を自然数とするとき,$C^n$を求めよ.
(1) 点P$(x,\ y)$に対し,Pを通り$\ell$に垂直な直線と$\ell$との交点をQ$(x^\prime, y^\prime)$とする.また,Pを通り$m$に垂直な直線と$m$との交点をR$(x^{\prime\prime},\ y^{\prime\prime})$とする.このとき, \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つような行列$A,\ B$を求めよ.
(2) $A,\ B$を(1)で求めた行列とする.このとき,行列$C=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle\frac{14}{5} & -\displaystyle\frac{2}{5} \\ \\ -\displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{11}{5} \end{array} \right)$に対して$C=\alpha A+\beta B$をみたす実数$\alpha,\ \beta$を求めよ.
(3) $n$を自然数とするとき,$C^n$を求めよ.
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