東京大学
2014年 理系 第5問
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$r$を$0$以上の整数とし,数列$\{a_n\}$を次のように定める.
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また,素数$p$を$1$つとり,$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする.ただし,$0$を$p$で割った余りは$0$とする.
(1) 自然数$n$に対し,$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ.
(2) $r=2,\ p=17$の場合に,$10$以下のすべての自然数$n$に対して,$b_n$を求めよ.
(3) ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して, \[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \] が成り立ったとする.このとき,$b_n=b_m$が成り立つことを示せ.
(4) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする.このとき,$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ.
(1) 自然数$n$に対し,$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ.
(2) $r=2,\ p=17$の場合に,$10$以下のすべての自然数$n$に対して,$b_n$を求めよ.
(3) ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して, \[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \] が成り立ったとする.このとき,$b_n=b_m$が成り立つことを示せ.
(4) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする.このとき,$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ.
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