首都大学東京
2016年 都市教養（理系） 第2問
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$n$を自然数とし，
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく．ただし，$\log x$は自然対数とする．以下の問いに答えなさい．
(1) $x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい．ただし，$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする．
(2) $x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい．
(3) $x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき，$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい．
(4) $(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1) $x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい．ただし，$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする．
(2) $x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい．
(3) $x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき，$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい．
(4) $(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
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