信州大学
2013年 工学部 第4問
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$\theta$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
(1) すべての自然数$k$に対して$A^k=\left( \begin{array}{rr} \cos k\theta & \sin k\theta \\ -\sin k\theta & \cos k\theta \end{array} \right)$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．
(2) $n$は2以上の自然数とし，$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$とする．$B=A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$AB=B+E-A$が成り立つことを示せ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$とする．
(3) (2)の条件のもとで，$B=-E$が成り立つことを示せ．
(1) すべての自然数$k$に対して$A^k=\left( \begin{array}{rr} \cos k\theta & \sin k\theta \\ -\sin k\theta & \cos k\theta \end{array} \right)$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．
(2) $n$は2以上の自然数とし，$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$とする．$B=A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$AB=B+E-A$が成り立つことを示せ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$とする．
(3) (2)の条件のもとで，$B=-E$が成り立つことを示せ．
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