埼玉大学
2013年 理学部 第1問
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$a,\ b$を0でない実数とし，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a^2 \\
-b^2 & 2ab
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする．さらに，実数$p$を，$B=A-pE$が$B^2=O$を満たすように定める．
(1) $p$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 自然数$n$に対し， \[ A^n=sE+tB \quad (s,\ t \text{は実数}) \] と表すとき，$s,\ t$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ．
(3) 自然数$n$に対し， \[ A^n \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right)=q \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right) \] を満たす実数$q$と$r$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ．
(1) $p$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 自然数$n$に対し， \[ A^n=sE+tB \quad (s,\ t \text{は実数}) \] と表すとき，$s,\ t$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ．
(3) 自然数$n$に対し， \[ A^n \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right)=q \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right) \] を満たす実数$q$と$r$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ．
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