立教大学
2011年 理学部(全学部日程) 第2問
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![座標平面上の直線ℓをy=2x,直線mをy=-x/2とする.このとき,次の問に答えよ.(1)点P(x,y)に対し,Pを通りℓに垂直な直線とℓとの交点をQ(x´,y´)とする.また,Pを通りmに垂直な直線とmとの交点をR(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime})とする.このとき,(\begin{array}{c}x´\y´\end{array})=A(\begin{array}{c}x\y\end{array}),(\begin{array}{c}x^{\prime\prime}\y^{\prime\prime}\end{array})=B(\begin{array}{c}x\y\end{array})が成り立つような行列A,Bを求めよ.(2)A,Bを(1)で求めた行列とする.このとき,行列C=(\begin{array}{rr}14/5&-2/5\\\-2/5&11/5\end{array})に対してC=αA+βBをみたす実数α,βを求めよ.(3)nを自然数とするとき,C^nを求めよ.](./thumb/300/390/2011_2.png)
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座標平面上の直線$\ell$を$y=2x$,直線$m$を$\displaystyle y=-\frac{x}{2}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 点P$(x,\ y)$に対し,Pを通り$\ell$に垂直な直線と$\ell$との交点をQ$(x^\prime, y^\prime)$とする.また,Pを通り$m$に垂直な直線と$m$との交点をR$(x^{\prime\prime},\ y^{\prime\prime})$とする.このとき, \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つような行列$A,\ B$を求めよ.
(2) $A,\ B$を(1)で求めた行列とする.このとき,行列$C=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle\frac{14}{5} & -\displaystyle\frac{2}{5} \\ \\ -\displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{11}{5} \end{array} \right)$に対して$C=\alpha A+\beta B$をみたす実数$\alpha,\ \beta$を求めよ.
(3) $n$を自然数とするとき,$C^n$を求めよ.
(1) 点P$(x,\ y)$に対し,Pを通り$\ell$に垂直な直線と$\ell$との交点をQ$(x^\prime, y^\prime)$とする.また,Pを通り$m$に垂直な直線と$m$との交点をR$(x^{\prime\prime},\ y^{\prime\prime})$とする.このとき, \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つような行列$A,\ B$を求めよ.
(2) $A,\ B$を(1)で求めた行列とする.このとき,行列$C=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle\frac{14}{5} & -\displaystyle\frac{2}{5} \\ \\ -\displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{11}{5} \end{array} \right)$に対して$C=\alpha A+\beta B$をみたす実数$\alpha,\ \beta$を求めよ.
(3) $n$を自然数とするとき,$C^n$を求めよ.
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