立教大学
2016年 理学部(個別日程) 第1問
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次の空欄$\fbox{ア}$~$\fbox{コ}$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1) $x,\ y$を実数とするとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$\fbox{ア}$であり,最大値は$\fbox{イ}$である.
(2) $2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは,$x=\fbox{ウ}$,$y=\fbox{エ}$のときである.
(3) $0 \leqq x \leqq 1$のとき,関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は,$x=\fbox{オ}$において最大値$\fbox{カ}$をとる.
(4) $\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$,$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき,$\mathrm{C}$の座標は$\fbox{キ}$である.また,直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると,$\cos \theta=\fbox{ク}$である.
(5) 袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている.この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき,取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である.このとき,袋の中の白玉は$\fbox{ケ}$個である.また,取り出した玉を元に戻し,この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき,赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$\fbox{コ}$である.
(1) $x,\ y$を実数とするとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$\fbox{ア}$であり,最大値は$\fbox{イ}$である.
(2) $2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは,$x=\fbox{ウ}$,$y=\fbox{エ}$のときである.
(3) $0 \leqq x \leqq 1$のとき,関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は,$x=\fbox{オ}$において最大値$\fbox{カ}$をとる.
(4) $\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$,$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき,$\mathrm{C}$の座標は$\fbox{キ}$である.また,直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると,$\cos \theta=\fbox{ク}$である.
(5) 袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている.この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき,取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である.このとき,袋の中の白玉は$\fbox{ケ}$個である.また,取り出した玉を元に戻し,この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき,赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$\fbox{コ}$である.
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