立教大学
2011年 理学部(個別日程) 第3問
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![座標平面上の2つの曲線y=\frac{e^x+e^{-x}}{2},y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}を,それぞれC_1,C_2とする.0以上の実数tに対して,x座標がtである点におけるC_1の接線をℓ_1,x座標がtである点におけるC_2の接線をℓ_2とする.ℓ_1とℓ_2との交点をP,ℓ_1とy軸との交点をQ,ℓ_2とy軸との交点をRとする.このとき,次の問に答えよ.(1)点Pの座標をtを用いて表せ.(2)三角形PQRの面積をS(t)とする.0以上の実数tを変化させるとき,S(t)の最大値を求めよ.また最大値を与えるtの値を求めよ.(3)(2)で求めたS(t)に対して,定積分∫_0^2S(t)dtの値を求めよ.](./thumb/300/383/2011_3.png)
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座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$,$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を,それぞれ$C_1$,$C_2$とする.$0$以上の実数$t$に対して,$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$,$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする.$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$,$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$,$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする.$0$以上の実数$t$を変化させるとき,$S(t)$の最大値を求めよ.また最大値を与える$t$の値を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$S(t)$に対して,定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする.$0$以上の実数$t$を変化させるとき,$S(t)$の最大値を求めよ.また最大値を与える$t$の値を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$S(t)$に対して,定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ.
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