大阪府立大学
2011年 工学域（中期） 第4問
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行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$とし，また，行列$B$を
\[ B=A+t \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \biggr) \]
とする．ただし，$t$は0でない実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $A \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_1 \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ．
(2) $B \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_2 \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ．ただし，$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする．
(3) $n$を自然数とする．(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して，$B^n \biggl( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ 1 & 1 \end{array} \biggr)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(4) 自然数$n$に対して，$B^n$の$(1,\ 1)$成分を$b_n(t)$とするとき，$\displaystyle \lim_{t \to 0}b_n(t)$を$n$を用いて表せ．
(1) $A \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_1 \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ．
(2) $B \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_2 \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ．ただし，$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする．
(3) $n$を自然数とする．(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して，$B^n \biggl( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ 1 & 1 \end{array} \biggr)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(4) 自然数$n$に対して，$B^n$の$(1,\ 1)$成分を$b_n(t)$とするとき，$\displaystyle \lim_{t \to 0}b_n(t)$を$n$を用いて表せ．
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