長崎大学
2015年 医学部 第1問
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放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$,$q$(ただし,$p<q$)とする.直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく.以下の問いに答えよ.
(1) $a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2) $a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3) $a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4) $a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
(1) $a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2) $a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3) $a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4) $a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
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