四面体$\mathrm{OABC}$において \begin{align} & \mathrm{OA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2, \nonumber \\ & \angle \mathrm{AOB}=45^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{COA}=45^\circ \nonumber \end{align} である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3) 直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．