四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2) 線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．