宇都宮大学
2012年 理系 第6問
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関数$y=e^{-x}$のグラフを$C$とする.$C$上の点P$(t,\ e^{-t})$における接線と$x$軸との交点をQ$(u,\ 0)$とする.$C$上の点$(u,\ e^{-u})$をRとするとき,次の問いに答えよ.
(1) $u$を$t$の式で表せ.
(2) 線分PQ,線分QRと$C$で囲まれた部分を図形Aとする.図形Aを$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を$t$の式で表せ.
(3) (1)の$u$を$t$の関数とみて$u(t)$と表す.数列$\{t_n\}$を$t_1=0,\ t_{n+1}=u(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定義するとき,一般項$t_n$を求めよ.
(4) (2)の$V$を$t$の関数とみて$V(t)$と表し,(3)の$t_n$を用いて$V_n=V(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.数列$\{V_n\}$は等比数列であることを示し,無限等比級数 \[ V_1+V_2+\cdots +V_n+\cdots \] の収束,発散を調べ,収束する場合は,その和を求めよ.
(1) $u$を$t$の式で表せ.
(2) 線分PQ,線分QRと$C$で囲まれた部分を図形Aとする.図形Aを$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を$t$の式で表せ.
(3) (1)の$u$を$t$の関数とみて$u(t)$と表す.数列$\{t_n\}$を$t_1=0,\ t_{n+1}=u(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定義するとき,一般項$t_n$を求めよ.
(4) (2)の$V$を$t$の関数とみて$V(t)$と表し,(3)の$t_n$を用いて$V_n=V(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.数列$\{V_n\}$は等比数列であることを示し,無限等比級数 \[ V_1+V_2+\cdots +V_n+\cdots \] の収束,発散を調べ,収束する場合は,その和を求めよ.
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