東京大学
2013年 文系 第2問
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![座標平面上の3点P(0,-√2),Q(0,√2),A(a,\sqrt{a^2+1})(0≦a≦1)を考える.(1)2つの線分の長さの差PA-AQはaによらない定数であることを示し,その値を求めよ.(2)Qを端点としAを通る半直線と放物線y=\frac{√2}{8}x^2との交点をBとする.点Bから直線y=2へ下した垂線と直線y=2との交点をCとする.このとき,線分の長さの和PA+AB+BCはaによらない定数であることを示し,その値を求めよ.](./thumb/179/909/2013_2.png)
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座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える.
(1) $2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し,その値を求めよ.
(2) $\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする.点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする.このとき,線分の長さの和 \[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \] は$a$によらない定数であることを示し,その値を求めよ.
(1) $2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し,その値を求めよ.
(2) $\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする.点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする.このとき,線分の長さの和 \[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \] は$a$によらない定数であることを示し,その値を求めよ.
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