金沢大学
2012年 理系 第3問
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次の問いに答えよ．
(1) $f(t)$を$0 \leqq t \leqq 1$で連続な関数とする．$\tan x=t$とおいて， \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x} \, dx=\int_0^1 f(t) \, dt \] であることを示せ．
(2) (1)を用いて，$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^n x}{\cos^2 x} \, dx$の値を求めよ．また， \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \leqq \frac{1}{n+1} \] を示せ．
(3) $0$以上の整数$n$と$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす$x$に対し， \[ \frac{1-\tan^2 x+\tan^4 x- \cdots +(-1)^n \tan^{2n} x}{\cos^2 x}=1-(-1)^{n+1} \tan^{2(n+1)} x \] であることを示せ．
(4) (2)と(3)を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{2k+1}$の値を求めよ．
(1) $f(t)$を$0 \leqq t \leqq 1$で連続な関数とする．$\tan x=t$とおいて， \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x} \, dx=\int_0^1 f(t) \, dt \] であることを示せ．
(2) (1)を用いて，$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^n x}{\cos^2 x} \, dx$の値を求めよ．また， \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \leqq \frac{1}{n+1} \] を示せ．
(3) $0$以上の整数$n$と$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす$x$に対し， \[ \frac{1-\tan^2 x+\tan^4 x- \cdots +(-1)^n \tan^{2n} x}{\cos^2 x}=1-(-1)^{n+1} \tan^{2(n+1)} x \] であることを示せ．
(4) (2)と(3)を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{2k+1}$の値を求めよ．
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コメント（6件）
2015-07-10 22:53:41
疑問点が解消されました 丁寧な解説ありがとうございます これからも、解答作成をお願いする事があると思うのでその時はまたよろしくお願いします<(_ _)> |
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2015-07-10 22:18:55
補足します。はさみうちの原理を使うときは、等号がついてなくてもどっちでも良いです（極限を考えているわけなので）。気持ち悪いと書いたのはあくまで僕の感想です。ただ、付ける流派みたいなものです。 |
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2015-07-10 22:06:17
鋭い質問ですね。xが0からπ/4まで動くとき、等号が成り立つのはx=0のときのみなので、それを足し合わせた（積分）ものは等号が成り立つことはありません。x≧0を示せという問題があったときに、もっと強くx>0を示したとしても正解になります。なぜ問題文に等号が入っているかというと、(4)ではさみうちの原理を使うからです。1/n<S<2/n（はさみうちで0に収束）のように等号を含まないと少し気持ち悪いので、等号が入っています。ですから、はさみうちを使わない（誘導ではない）場合、この証明が出るとしたら、おそらく問題文に等号は入っていないと思います。 |
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2015-07-10 21:44:57
解答作成ありがとうございます 質問なのですが、解答1枚目の下から2~3行目で三角関数の不等式を定積分するとき、等号は含んだままなのでしょうか？ |
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2015-07-10 19:45:13
作りました。(4)で求められる式はグレゴリー・ライプニッツ級数といい、円周率の近似値を出すときに使います。少し難しいですが、この種の問題は１回完全に理解しておくと、いろいろ役立つと思います。頑張ってください。 |
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2015-07-10 17:48:08
解答をお願いします |
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