長崎大学
2015年 経済・水産・環境科学部 第1問
1
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$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-2ax+2a^2 \]
を考える.ただし,$a>0$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 放物線$C_2$の頂点の座標を$a$を用いて表せ.
(2) $2$つの放物線$C_1$,$C_2$の共通接線を$\ell$とし,$C_1$と$\ell$との接点の$x$座標を$p$,$C_2$と$\ell$との接点の$x$座標を$q$とする.$p$と$q$の値および$\ell$の方程式を,それぞれ$a$を用いて表せ.
(3) 放物線$C_1$,$C_2$および接線$\ell$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とする.$S_1$を$a$を用いて表せ.
(4) 点$\displaystyle \left( -\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4} \right)$における$C_1$の接線を$m$とする.このとき,$m$の方程式を$a$を用いて表せ.また,$m$と接線$\ell$との交点の$x$座標を求めよ.
(5) 放物線$C_1$および接線$\ell$,$m$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする.$S_2$を$a$を用いて表せ.さらに,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ.
(1) 放物線$C_2$の頂点の座標を$a$を用いて表せ.
(2) $2$つの放物線$C_1$,$C_2$の共通接線を$\ell$とし,$C_1$と$\ell$との接点の$x$座標を$p$,$C_2$と$\ell$との接点の$x$座標を$q$とする.$p$と$q$の値および$\ell$の方程式を,それぞれ$a$を用いて表せ.
(3) 放物線$C_1$,$C_2$および接線$\ell$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とする.$S_1$を$a$を用いて表せ.
(4) 点$\displaystyle \left( -\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4} \right)$における$C_1$の接線を$m$とする.このとき,$m$の方程式を$a$を用いて表せ.また,$m$と接線$\ell$との交点の$x$座標を求めよ.
(5) 放物線$C_1$および接線$\ell$,$m$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする.$S_2$を$a$を用いて表せ.さらに,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ.
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