西南学院大学
2016年 神学・経済 第5問
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次の問いに答えよ.
[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする.${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$,${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき, \[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots \ \ \maruichi \] を以下の指示に従って,$2$通りの方法で証明せよ.
[$(1)$] すべての実数$t$に対して, \[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \] が成り立つことを利用して$\maruichi$を証明せよ.また等号が成り立つときの条件を示せ. [$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル, \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \] を考える.$\maruichi$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ.その上で,$\maruichi$を証明せよ.また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ.
[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$を考える.変量$x$の平均を$\overline{x}$とし,$x$の偏差を$X$とする.すなわち,$X_i=x_i-\overline{x} \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$であり,変量$y$についても同様とする.また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え,これを$r$とする.このとき,上記$\maruichi$を用いて, \[ -1 \leqq r \leqq 1 \] となることを示せ.
[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする.${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$,${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき, \[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots \ \ \maruichi \] を以下の指示に従って,$2$通りの方法で証明せよ.
[$(1)$] すべての実数$t$に対して, \[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \] が成り立つことを利用して$\maruichi$を証明せよ.また等号が成り立つときの条件を示せ. [$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル, \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \] を考える.$\maruichi$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ.その上で,$\maruichi$を証明せよ.また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ.
[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$を考える.変量$x$の平均を$\overline{x}$とし,$x$の偏差を$X$とする.すなわち,$X_i=x_i-\overline{x} \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$であり,変量$y$についても同様とする.また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え,これを$r$とする.このとき,上記$\maruichi$を用いて, \[ -1 \leqq r \leqq 1 \] となることを示せ.
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