奈良県立医科大学
2011年 医学部 第4問
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$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし,円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して,点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし,$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく.このとき,円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し,接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する.
(1) 円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として,接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ.
(2) 行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ.
(3) 円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し,点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ.
(4) $xy$平面の一次変換$\varphi$は,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か,または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ.
(1) 円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として,接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ.
(2) 行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ.
(3) 円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し,点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ.
(4) $xy$平面の一次変換$\varphi$は,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か,または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ.
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