香川大学
2012年 医学部 第1問
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![A=\biggl(\begin{array}{cc}2&-1\\1&4\end{array}\biggr)とする.このとき,次の問に答えよ.(1)A^2-6A+9E=Oを示せ.ただし,E=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\biggr)とする.(2)数列{x_n},{y_n}を\begin{align}&\biggl(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\biggr),\nonumber\\&\biggl(\begin{array}{c}x_n\\y_n\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}x_{n-1}\\y_{n-1}\end{array}\biggr)(n≧2)\nonumber\end{align}で定めるとき,x_n,y_nをそれぞれnを用いて表せ.(3)自然数nに対して,A^n=a_nA+b_nEとなるa_n,b_nをそれぞれnを用いて表せ.](./thumb/665/2850/2012_1.png)
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$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $A^2-6A+9E=O$を示せ.ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$とする.
(2) 数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を \begin{align} & \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \biggr), \nonumber \\ & \biggl( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber \end{align} で定めるとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対して,$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(1) $A^2-6A+9E=O$を示せ.ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$とする.
(2) 数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を \begin{align} & \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \biggr), \nonumber \\ & \biggl( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber \end{align} で定めるとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対して,$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
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