慶應義塾大学
2012年 理工学部 第4問
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![ABCDEを1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし,4個の正三角形を側面とする正四角錐とする.(プレビューでは図は省略します)(1)△CDEの重心をGとする.ベクトルベクトルAGをベクトルAB,ベクトルAD,ベクトルAEで表すと,ベクトルAG=[セ]となる.(2)ベクトル0でないベクトルベクトルpが平面α上の任意のベクトルと垂直なとき,ベクトルpは平面αと垂直であるという.ベクトルp=aベクトルAB+bベクトルAD+cベクトルAE(a,b,c は実数 )が△CDEを含む平面と垂直なとき,a:b:c=[ソ]である.よって,|ベクトルp|=1かつベクトルp・ベクトルAD>0となるようにa,b,cを定めると,ベクトルp=[タ]となる.(3)正四角錐ABCDEの△CDEに,各辺の長さが1の正四面体CDEFを貼り付ける.ベクトルベクトルAFをベクトルAB,ベクトルAD,ベクトルAEで表すと,ベクトルAF=[チ]となる.また,Hを辺ECの中点とすると,ベクトルHA・ベクトルHF=[ツ]であり,△AHFの面積は[テ]である.](./thumb/202/89/2012_4.png)
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$\mathrm{ABCDE}$を$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし,$4$個の正三角形を側面とする正四角錐とする.
\imgc{202_89_2012_1}
(1) $\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = \fbox{セ}$となる.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき,$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという.$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき,$a:b:c=\fbox{ソ}$である.よって,$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると,$\overrightarrow{p} = \fbox{タ}$となる.
(3) 正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に,各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\fbox{チ}$となる.また,$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると,$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= \fbox{ツ}$であり,$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は\fbox{テ}である.
(1) $\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = \fbox{セ}$となる.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき,$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという.$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき,$a:b:c=\fbox{ソ}$である.よって,$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると,$\overrightarrow{p} = \fbox{タ}$となる.
(3) 正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に,各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\fbox{チ}$となる.また,$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると,$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= \fbox{ツ}$であり,$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は\fbox{テ}である.
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