東京大学
2014年 理系 第3問
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$u$を実数とする.座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
C_1: & y=-x^2+1 \\
C_2: & y=(x-u)^2+u
\end{array} \]
を考える.$C_1$と$C_2$が共有点をもつような$u$の値の範囲は,ある実数$a,\ b$により,$a \leqq u \leqq b$と表される.
(1) $a,\ b$の値を求めよ.
(2) $u$が$a \leqq u \leqq b$をみたすとき,$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする.ただし,共有点が$1$点のみのときは,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$は一致し,ともにその共有点を表すとする. \[ 2 |x_1y_2-x_2y_1| \] を$u$の式で表せ.
(3) $(2)$で得られる$u$の式を$f(u)$とする.定積分 \[ I=\int_a^b f(u) \, du \] を求めよ.
(1) $a,\ b$の値を求めよ.
(2) $u$が$a \leqq u \leqq b$をみたすとき,$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする.ただし,共有点が$1$点のみのときは,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$は一致し,ともにその共有点を表すとする. \[ 2 |x_1y_2-x_2y_1| \] を$u$の式で表せ.
(3) $(2)$で得られる$u$の式を$f(u)$とする.定積分 \[ I=\int_a^b f(u) \, du \] を求めよ.
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