信州大学
2013年 文系 第2問
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![\begin{align}&\nonumber\end{align}\begin{screen}自然数a_1,a_2が,a_1≦a_2,a_1+a_2=a_1a_2(1)を満たすとき,a_1,a_2を次のように求めることができる.\\\{\bf解法}\\(1)の2式の両辺をa_1a_2で割ると\frac{1}{a_2}≦\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1を得る.よって,この2つの式を組み合わせて1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}≦\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1}=\frac{2}{a_1}を得る.これよりa_1≦2である.a_1=1のとき,これを(1)の右の式に代入すると1+a_2=a_2となって矛盾する.a_1=2のとき,これを(1)の右の式に代入するとa_2=2となる.逆にa_1=a_2=2は(1)の2式を満たす.よってa_1=a_2=2となる.\end{screen}必要があれば上の解法を参考にして,自然数a_1,a_2,a_3がa_1≦a_2≦a_3,a_1+a_2+a_3=a_1a_2a_3を満たすとき,a_1,a_2,a_3を求めよ.](./thumb/377/1598/2013_2.png)
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\begin{align}
& \nonumber
\end{align}
\begin{screen}
自然数$a_1,\ a_2$が,
\[ a_1 \leqq a_2,\quad a_1+a_2=a_1a_2 \hfill (1) \]
を満たすとき,$a_1,\ a_2$を次のように求めることができる. \\ \\
{\bf 解法} \\
(1)の2式の両辺を$a_1a_2$で割ると
\[ \frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1},\quad \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1 \]
を得る.よって,この2つの式を組み合わせて
\[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1}=\frac{2}{a_1} \]
を得る.これより$a_1 \leqq 2$である.$a_1=1$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$1+a_2=a_2$となって矛盾する.$a_1=2$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$a_2=2$となる.逆に$a_1=a_2=2$は(1)の2式を満たす.よって$a_1=a_2=2$となる.
\end{screen}
必要があれば上の解法を参考にして,自然数$a_1,\ a_2,\ a_3$が
\[ a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,\quad a_1+a_2+a_3=a_1a_2a_3 \]
を満たすとき,$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
類題(関連度順)
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