学習院大学
2011年 文学部 第2問
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![nを自然数とする.(1)等式Σ_{k=0}^n(-1)^k\comb{n}{k}=0を示せ.(2)kが0≦k≦nを満たす整数のとき,等式(n+1)\comb{n}{k}=(k+1)\comb{n+1}{k+1}が成り立つことを示せ.(3)等式Σ_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k+1}\comb{n}{k}=\frac{1}{n+1}を示せ.](./thumb/196/2180/2011_2.png)
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$n$を自然数とする.
(1) 等式 \[ \sum_{k=0}^n (-1)^k \comb{n}{k}=0 \] を示せ.
(2) $k$が$0 \leqq k \leqq n$を満たす整数のとき,等式 \[ (n+1) \comb{n}{k}=(k+1) \comb{n+1}{k+1} \] が成り立つことを示せ.
(3) 等式 \[ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} \comb{n}{k}=\frac{1}{n+1} \] を示せ.
(1) 等式 \[ \sum_{k=0}^n (-1)^k \comb{n}{k}=0 \] を示せ.
(2) $k$が$0 \leqq k \leqq n$を満たす整数のとき,等式 \[ (n+1) \comb{n}{k}=(k+1) \comb{n+1}{k+1} \] が成り立つことを示せ.
(3) 等式 \[ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} \comb{n}{k}=\frac{1}{n+1} \] を示せ.
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