福岡教育大学
2012年 初等教育 第3問
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$a,\ b$を実数とし，
\[ S=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする．$2$次正方行列$N$が$N^2=O,\ SN=NS$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1) $a=b$または$N=O$であることを示せ．
(2) $n$は$2$以上の自然数とする．このとき， \[ (S+N)^n=S^n+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ．
(3) $n$は$2$以上の自然数とする．このとき， \[ (S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ．
(4) $N=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき，$2$以上の自然数$n$に対して，$(S+SN+N)^n$を求めよ．
(1) $a=b$または$N=O$であることを示せ．
(2) $n$は$2$以上の自然数とする．このとき， \[ (S+N)^n=S^n+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ．
(3) $n$は$2$以上の自然数とする．このとき， \[ (S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ．
(4) $N=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき，$2$以上の自然数$n$に対して，$(S+SN+N)^n$を求めよ．
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