福井大学
2011年 工学部 第1問
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![1辺の長さが1の正十二面体を考える.点O,A,B,C,D,\\E,F,Gを図に示す正十二面体の頂点とし,ベクトルOA=ベクトルa,\\ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき,以下の問いに答えよ.\\ただし,1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは\\\frac{1+√5}{2}であることを用いてよい.なお,正十二面体では,\\すべての面は合同な正五角形であり,各頂点は3つの正五\\角形に共有されている.\img{366_2547_2011_1}{55}(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ.(2)ベクトルCD,ベクトルBE,ベクトルOD,ベクトルOE,ベクトルOFをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(3)ベクトルDFとベクトルEFのなす角を求めよ.](./thumb/366/2547/2011_1.png)
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1辺の長さが1の正十二面体を考える.点O,A,B,C,D, \\
E,F,Gを図に示す正十二面体の頂点とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$, \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ. \\
ただし,1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい.なお,正十二面体では, \\
すべての面は合同な正五角形であり, 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている.
\img{366_2547_2011_1}{55}
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ.
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