獨協医科大学
2014年 医学部 第4問
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![行列A=r(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})で表される1次変換fについて考える．点P_0の座標を(1,0)とし，nを正の整数とするとき，fによって点P_{n-1}が移される点をP_nとする．また，Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{OQ_n}となる点Q_nの座標を(x_n,y_n)とし，n→∞のときにx_n,y_nがともに収束する場合の点Q_nの極限値Q(\lim_{n→∞}x_n,\lim_{n→∞}y_n)を求めよう．(1)r=1/2，θ=π/3のとき，A^3=\frac{[アイ]}{[ウ]}(\begin{array}{cc}[エ]&[オ]\[オ]&[エ]\end{array})であり，P_7の座標は(\frac{[カ]}{[キクケ]},\frac{\sqrt{[コ]}}{[キクケ]})である．(2)E-Aが逆行列をもたないr,θ(r≧0,0≦θ＜2π)の条件は，r=[サ]かつθ=[シ]である．ただし，Eは単位行列とする．E-Aが逆行列をもつとき，nを2以上の整数とすると(E-A)(E+A+A^2+・・・+A^{n-1})=E-A^nよりE+A+A^2+・・・+A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n)また，(E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2rcosθ+1}(\begin{array}{cc}1-rcosθ&-rsinθ\rsinθ&1-rcosθ\end{array})であるから(E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2rcosθ+1}TとするとT=(\begin{array}{cc}1-rcosθ-r^n[ス]+r^{n+1}[セ]&-rsinθ+r^n[ソ]-r^{n+1}[タ]\rsinθ-r^n[ソ]+r^{n+1}[タ]&1-rcosθ-r^n[ス]+r^{n+1}[セ]\end{array})である．ただし，[ス]，[セ]，[ソ]，[タ]には，次の\nagamaruichi～\nagamarurokuの中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．\nagamaruichisinnθ\nagamarunicosnθ\nagamarusansin(n-1)θ\nagamarushicos(n-1)θ\nagamarugosin(n+1)θ\nagamarurokucos(n+1)θ0≦r＜1のとき，\lim_{n→∞}x_n,\lim_{n→∞}y_nはともに収束し，さらにθ=π/3とすると，Q=(\frac{[チ]-r}{[ツ]-2r+[テ]r^2},\frac{\sqrt{[ト]}r}{[ツ]-2r+[テ]r^2})である．](./thumb/101/2273/2014_4.png)
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行列$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$について考える．点$\mathrm{P}_0$の座標を$(1,\ 0)$とし，$n$を正の整数とするとき，$f$によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移される点を$\mathrm{P}_n$とする．また，$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_k}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}_n}$となる点$\mathrm{Q}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とし，$n \to \infty$のときに$x_n,\ y_n$がともに収束する場合の点$\mathrm{Q}_n$の極限値$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n \right)$を求めよう．
(1) $\displaystyle r=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle A^3=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{エ} & \fbox{オ} \\ \fbox{オ} & \fbox{エ} \end{array} \right)$であり，$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}},\ \frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{キクケ}} \right)$である．
(2) $E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta \ \ (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は，$r=\fbox{サ}$かつ$\theta=\fbox{シ}$である．ただし，$E$は単位行列とする．
$E-A$が逆行列をもつとき，$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より \[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \] また，$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & 1-r \cos \theta \end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると \[ T=\left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} & -r \sin \theta+r^n \fbox{ソ}-r^{n+1} \fbox{タ} \\ r \sin \theta-r^n \fbox{ソ}+r^{n+1} \fbox{タ} & 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} \end{array} \right) \] である．ただし，$\fbox{ス}$，$\fbox{セ}$，$\fbox{ソ}$，$\fbox{タ}$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする． \[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \] $0 \leqq r<1$のとき，$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し，さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると， \[ \mathrm{Q}=\left( \frac{\fbox{チ}-r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2},\ \frac{\sqrt{\fbox{ト}}r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2} \right) \] である．
(1) $\displaystyle r=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle A^3=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{エ} & \fbox{オ} \\ \fbox{オ} & \fbox{エ} \end{array} \right)$であり，$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}},\ \frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{キクケ}} \right)$である．
(2) $E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta \ \ (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は，$r=\fbox{サ}$かつ$\theta=\fbox{シ}$である．ただし，$E$は単位行列とする．
$E-A$が逆行列をもつとき，$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より \[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \] また，$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & 1-r \cos \theta \end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると \[ T=\left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} & -r \sin \theta+r^n \fbox{ソ}-r^{n+1} \fbox{タ} \\ r \sin \theta-r^n \fbox{ソ}+r^{n+1} \fbox{タ} & 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} \end{array} \right) \] である．ただし，$\fbox{ス}$，$\fbox{セ}$，$\fbox{ソ}$，$\fbox{タ}$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする． \[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \] $0 \leqq r<1$のとき，$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し，さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると， \[ \mathrm{Q}=\left( \frac{\fbox{チ}-r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2},\ \frac{\sqrt{\fbox{ト}}r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2} \right) \] である．
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