関西学院大学
2011年 理系学部 第2問
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![座標空間において,原点をOとし,点A(1,0,0)をとる.また,xy平面上にあり,中心が原点,半径が1の円をCとするとき,以下の問いに答えよ.(1)Cのy≧0の部分にある点Pについて∠AOP=t(0≦t≦π)とする.このとき,点Pの座標をtを用いて表せ.(2)点QをベクトルOQ=-ベクトルOPを満たす点とし,点B(√3,1,1)をとる.このとき,内積ベクトルBP・ベクトルBQを求めよ.また,|ベクトルBP|^2=m-nsin(t+α)となるような定数m,n,α( ただし, 0≦α≦π/2)を求めよ.(3)∠PBQ=θとおくとき,cosθの最大値と最小値,およびそれらのときのtの値を求めよ.(4)cosθが上で求めた最小値をとるとき,三角形PBQの面積を求めよ.](./thumb/568/2305/2011_2.png)
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座標空間において,原点を$\mathrm{O}$とし,点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる.また,$xy$平面上にあり,中心が原点,半径が$1$の円を$C$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし,点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる.このとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \ \ \left( \text{ただし,} \ \ 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
(3) $\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき,$\cos \theta$の最大値と最小値,およびそれらのときの$t$の値を求めよ.
(4) $\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき,三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ.
(1) $C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし,点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる.このとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \ \ \left( \text{ただし,} \ \ 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
(3) $\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき,$\cos \theta$の最大値と最小値,およびそれらのときの$t$の値を求めよ.
(4) $\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき,三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ.
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