静岡大学
2014年 理学部(数) 第4問
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![αを実数とする.2つの関数f(x)=e^{-x}(sinx-cosx)とg(x)=αe^{-x}について,次の問いに答えよ.(1)∫f(x)dx=-e^{-x}sinx+Cであることを示せ.ただし,Cは積分定数である.(2)すべてのx≧0についてf(x)≦g(x)が成り立つようなαの値の最小値を求めよ.(3)αを(2)で求めた最小値とする.曲線y=f(x)(x≧0)と曲線y=g(x)(x≧0)との共有点のx座標を小さい方から順にa_0,a_1,a_2,・・・とし,nが自然数であるとき,S_n=∫_{a_{n-1}}^{a_n}{g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2}}dxとする.このとき,S_nを求めよ.(4)(3)で求めたS_nについて,無限級数Σ_{n=1}^∞S_nの和を求めよ.](./thumb/396/1404/2014_4.png)
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$\alpha$を実数とする.$2$つの関数$f(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$と$g(x)=\alpha e^{-x}$について,次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ.ただし,$C$は積分定数である.
(2) すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ.
(3) $\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする.曲線$y=f(x) \ \ (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) \ \ (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし,$n$が自然数であるとき, \[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \] とする.このとき,$S_n$を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$S_n$について,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ.
(1) $\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ.ただし,$C$は積分定数である.
(2) すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ.
(3) $\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする.曲線$y=f(x) \ \ (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) \ \ (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし,$n$が自然数であるとき, \[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \] とする.このとき,$S_n$を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$S_n$について,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ.
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