愛知県立大学
2012年 理系 第4問
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$A=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) すべての自然数$n$について， \[ A^n=\biggl( \begin{array}{cc} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \biggr) \] となることを数学的帰納法で示せ．
(2) $\theta=20^\circ$のとき，$A^m=E$となる最小の自然数$m$を求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr)$である．
(3) $\theta=20^\circ$のとき，(2)で求められた$m$を用いて \[ A+A^2+\cdots +A^m \] を求めよ．
(1) すべての自然数$n$について， \[ A^n=\biggl( \begin{array}{cc} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \biggr) \] となることを数学的帰納法で示せ．
(2) $\theta=20^\circ$のとき，$A^m=E$となる最小の自然数$m$を求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr)$である．
(3) $\theta=20^\circ$のとき，(2)で求められた$m$を用いて \[ A+A^2+\cdots +A^m \] を求めよ．
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