神戸大学
2010年 理系 第5問
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座標平面において，点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める．このとき，以下の問に答えよ．
(1) $a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3) (2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．
(1) $a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3) (2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．
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