神戸大学
2010年 理系 第2問

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pを3以上の素数,a,bを自然数とする.以下の問に答えよ.ただし,自然数m,nに対し,mnがpの倍数ならば,mまたはnはpの倍数であることを用いてよい.(1)a+bとabがともにpの倍数であるとき,aとbはともにpの倍数であることを示せ.(2)a+bとa^2+b^2がともにpの倍数であるとき,aとbはともにpの倍数であることを示せ.(3)a^2+b^2とa^3+b^3がともにpの倍数であるとき,aとbはともにpの倍数であることを示せ.
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$p$を3以上の素数,$a,\ b$を自然数とする.以下の問に答えよ.ただし,自然数$m,\ n$に対し,$mn$が$p$の倍数ならば,$m$または$n$は$p$の倍数であることを用いてよい.
(1) $a+b$と$ab$がともに$p$の倍数であるとき,$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ.
(2) $a+b$と$a^2 +b^2$がともに$p$の倍数であるとき,$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ.
(3) $a^2 +b^2$と$a^3 +b^3$がともに$p$の倍数であるとき,$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ.
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大学(出題年) 神戸大学(2010)
文理 理系
大問 2
単元 整数の性質(数学A)
タグ 証明素数自然数倍数
難易度 未設定

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