神戸大学
2011年 理系 第3問
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$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n= \sum_{k=n}^{n^3-1}\frac{1}{k\log k} \]
とおく．以下の問に答えよ．
(1) $\displaystyle \int_n^{n^3} \frac{dx}{x\log x}$を求めよ．
(2) $k$を$2$以上の自然数とするとき， \[ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k\log k} \] を示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$の値を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_n^{n^3} \frac{dx}{x\log x}$を求めよ．
(2) $k$を$2$以上の自然数とするとき， \[ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k\log k} \] を示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$の値を求めよ．
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