神戸大学
2011年 理系 第1問
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$i=\sqrt{-1}$とする．以下の問に答えよ．
(1) 実数$\alpha,\ \beta$について，等式 \[ (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin (\alpha+\beta) \] が成り立つことを示せ．
(2) 自然数$n$に対して， \[ z=\sum_{k=1}^n \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+ i \sin \frac{2\pi k}{n} \right) \] とおくとき，等式 \[ z \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n} \right) = z \] が成り立つことを示せ．
(3) 2以上の自然数$n$について，等式 \[ \sum_{k=1}^n \cos \frac{2\pi k}{n} = \sum_{k=1}^n \sin \frac{2\pi k}{n} = 0 \] が成り立つことを示せ．
(1) 実数$\alpha,\ \beta$について，等式 \[ (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin (\alpha+\beta) \] が成り立つことを示せ．
(2) 自然数$n$に対して， \[ z=\sum_{k=1}^n \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+ i \sin \frac{2\pi k}{n} \right) \] とおくとき，等式 \[ z \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n} \right) = z \] が成り立つことを示せ．
(3) 2以上の自然数$n$について，等式 \[ \sum_{k=1}^n \cos \frac{2\pi k}{n} = \sum_{k=1}^n \sin \frac{2\pi k}{n} = 0 \] が成り立つことを示せ．
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