四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点，$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．以下の問に答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．