神戸大学
2014年 理系 第2問

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m,n(m<n)を自然数とし,a=n^2-m^2,b=2mn,c=n^2+m^2とおく.三辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をrとし,その三角形の面積をSとする.このとき,以下の問に答えよ.(1)a^2+b^2=c^2を示せ.(2)rをm,nを用いて表せ.(3)rが素数のときに,Sをrを用いて表せ.(4)rが素数のときに,Sが6で割り切れることを示せ.
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$m,\ n \ \ (m<n)$を自然数とし, \[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \] とおく.三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし,その三角形の面積を$S$とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) $a^2+b^2=c^2$を示せ.
(2) $r$を$m,\ n$を用いて表せ.
(3) $r$が素数のときに,$S$を$r$を用いて表せ.
(4) $r$が素数のときに,$S$が$6$で割り切れることを示せ.
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大学(出題年) 神戸大学(2014)
文理 理系
大問 2
単元 整数の性質(数学A)
タグ 証明不等号自然数三辺長さ三角形内接円半径面積素数
難易度 3

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