動点$\mathrm{P}$が，図のような正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}$から出発し，さいころをふるごとに，次の規則により正方形のある頂点から他の頂点に移動する．
出た目の数が$2$以下なら辺$\mathrm{AB}$と平行な方向に移動する．
出た目の数が$3$以上なら辺$\mathrm{AD}$と平行な方向に移動する．
$n$を自然数とするとき，さいころを$2n$回ふった後に動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n$，$\mathrm{C}$にいる確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ． \imgc{558_1534_2013_1}
(1) $a_1$を求めよ．
(2) さいころを$2n$回ふった後，動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にいることを証明せよ．
(3) $a_n,\ c_n$を$n$を用いてそれぞれ表せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$をそれぞれ求めよ．