空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2) 点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3) $\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．