北里大学
2016年 理学部 第3問
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![次の文中の[ア]～[ノ]にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．(1)2以上のある自然数を出発点とし，それに対して次の操作を繰り返して行い，1に到達したら終了とする．\begin{itemize}偶数は2で割り，3以上の奇数は1を足す\end{itemize}この操作によって，自然数2は1回の操作（2→1）で1に変換される．同様に，3は3回（3→4→2→1），4は2回（4→2→1）の操作で1に変換される．このような変換操作は，下図のように1を起点として枝分かれする樹形図によって整理することができる．（プレビューでは図は省略します）n回の操作で1になる自然数の個数をX_nとすれば，1回の操作で1になる自然数は2のみであるのでX_1=1，2回で1となる自然数は4のみでありX_2=1となる．3回で1となる自然数は，1回の操作で4になる3と8の2つがあるのでX_3=2となる．4回で1となる自然数は，[ア],16,6の3つでX_4=3，同様にして，X_5=[イ]であることがわかる．n回の操作で1になる偶数の個数をE_n，奇数の個数をO_nと書くと，X_n,E_n,O_nの間にX_n=E_n+O_nが成立する．E_{n+1}をE_nとO_nで表すと，E_{n+1}=[ウ]E_n+[エ]O_nとなる．またn≧2の場合には，O_{n+1}をE_nとO_nで表すと，O_{n+1}=[オ]E_n+[カ]O_nとなる．これらの2つの漸化式をまとめて，X_nの漸化式を求めるとX_{n+2}=[キ]X_{n+1}+[ク]X_nとなる．X_1=1,X_2=1だったので，X_{10}=[ケ][コ]と求めることができる．X_nの漸化式を解くことを考える．次の2次方程式を考えよう．x^2-[キ]x-[ク]=0この方程式の2つの解をα,βと書くと，α=\frac{[サ]+\sqrt{[シ]}}{[ス]},β=\frac{[サ]-\sqrt{[シ]}}{[ス]}である．解と係数の関係α+β=[セ],αβ=[ソ]を用いることにより，X_nの漸化式はX_{n+2}-αX_{n+1}=β(X_{n+1}-αX_n)およびX_{n+2}-βX_{n+1}=α(X_{n+1}-βX_n)と書き直すことができる．したがって漸化式は，X_{n+2}-αX_{n+1}=β^n(X_2-αX_1)およびX_{n+2}-βX_{n+1}=α^n(X_2-βX_1)と解くことができる．これらからX_{n+2}を消去すれば，X_{n+1}が得られる．(2)数列{a_n},n=1,2,・・・,の間には次の漸化式a_{n+2}=1/2a_{n+1}+1/2a_nが成立し，a_1=1/2,a_2=3/4であるとする．この漸化式を解くために，(1)の解法を用い，次の2次方程式を考える．x^2+\frac{[タ]}{[チ]}x+\frac{[ツ]}{[テ]}=0この2次方程式の2つの解をα,βと書き，(1)と同様に漸化式を書き直せば，a_{n+2}-βa_{n+1}=α(a_{n+1}-βa_n)およびa_{n+2}-αa_{n+1}=β(a_{n+1}-αa_n)であることが分かり，これらから一般項a_nはa_n=\frac{[ト]}{[ナ]}+\frac{[ニ]}{[ヌ]}(\frac{[ネ]}{[ノ]})^nであることが分かる．](./thumb/198/2285/2016_3.png)
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次の文中の$\fbox{ア}$～$\fbox{ノ}$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．
(1) $2$以上のある自然数を出発点とし，それに対して次の操作を繰り返して行い，$1$に到達したら終了とする． \begin{itemize}
偶数は$2$で割り，$3$以上の奇数は$1$を足す \end{itemize} この操作によって，自然数$2$は$1$回の操作（$2 \to 1$）で$1$に変換される．同様に，$3$は$3$回（$3 \to 4 \to 2 \to 1$），$4$は$2$回（$4 \to 2 \to 1$）の操作で$1$に変換される．このような変換操作は，下図のように$1$を起点として枝分かれする樹形図によって整理することができる． \imgc{198_2285_2016_1}
$n$回の操作で$1$になる自然数の個数を$X_n$とすれば，$1$回の操作で$1$になる自然数は$2$のみであるので$X_1=1$，$2$回で$1$となる自然数は$4$のみであり$X_2=1$となる．$3$回で$1$となる自然数は，$1$回の操作で$4$になる$3$と$8$の$2$つがあるので$X_3=2$となる．$4$回で$1$となる自然数は，$\fbox{ア},\ 16,\ 6$の$3$つで$X_4=3$，同様にして，$X_5=\fbox{イ}$であることがわかる．
$n$回の操作で$1$になる偶数の個数を$E_n$，奇数の個数を$O_n$と書くと，$X_n,\ E_n,\ O_n$の間に \[ X_n=E_n+O_n \] が成立する．
$E_{n+1}$を$E_n$と$O_n$で表すと， \[ E_{n+1}=\fbox{ウ}E_n+\fbox{エ}O_n \] となる．また$n \geqq 2$の場合には，$O_{n+1}$を$E_n$と$O_n$で表すと， \[ O_{n+1}=\fbox{オ}E_n+\fbox{カ}O_n \] となる．これらの$2$つの漸化式をまとめて，$X_n$の漸化式を求めると \[ X_{n+2}=\fbox{キ}X_{n+1}+\fbox{ク}X_n \] となる．$X_1=1,\ X_2=1$だったので，$X_{10}=\fbox{ケ}\fbox{コ}$と求めることができる．
$X_n$の漸化式を解くことを考える．次の$2$次方程式を考えよう． \[ x^2-\fbox{キ}x-\fbox{ク}=0 \] この方程式の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$と書くと， \[ \alpha=\frac{\fbox{サ}+\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}},\quad \beta=\frac{\fbox{サ}-\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}} \] である．解と係数の関係 \[ \alpha+\beta=\fbox{セ},\quad \alpha\beta=\fbox{ソ} \] を用いることにより，$X_n$の漸化式は
$X_{n+2}-\alpha X_{n+1}=\beta(X_{n+1}-\alpha X_n)$および$X_{n+2}-\beta X_{n+1}=\alpha(X_{n+1}-\beta X_n)$
と書き直すことができる．したがって漸化式は，
$X_{n+2}-\alpha X_{n+1}=\beta^n (X_2-\alpha X_1)$および$X_{n+2}-\beta X_{n+1}=\alpha^n(X_2-\beta X_1)$
と解くことができる．これらから$X_{n+2}$を消去すれば，$X_{n+1}$が得られる．
(2) 数列$\{a_n\},\ n=1,\ 2,\ \cdots,$の間には次の漸化式 \[ a_{n+2}=\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{1}{2}a_n \] が成立し，$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\ a_2=\frac{3}{4}$であるとする．
この漸化式を解くために，$(1)$の解法を用い，次の$2$次方程式を考える． \[ x^2+\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}x+\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}=0 \] この$2$次方程式の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$と書き，$(1)$と同様に漸化式を書き直せば，
$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$および$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$
であることが分かり，これらから一般項$a_n$は \[ a_n=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}+\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \left( \frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \right)^n \] であることが分かる．
(1) $2$以上のある自然数を出発点とし，それに対して次の操作を繰り返して行い，$1$に到達したら終了とする． \begin{itemize}
偶数は$2$で割り，$3$以上の奇数は$1$を足す \end{itemize} この操作によって，自然数$2$は$1$回の操作（$2 \to 1$）で$1$に変換される．同様に，$3$は$3$回（$3 \to 4 \to 2 \to 1$），$4$は$2$回（$4 \to 2 \to 1$）の操作で$1$に変換される．このような変換操作は，下図のように$1$を起点として枝分かれする樹形図によって整理することができる． \imgc{198_2285_2016_1}
$n$回の操作で$1$になる自然数の個数を$X_n$とすれば，$1$回の操作で$1$になる自然数は$2$のみであるので$X_1=1$，$2$回で$1$となる自然数は$4$のみであり$X_2=1$となる．$3$回で$1$となる自然数は，$1$回の操作で$4$になる$3$と$8$の$2$つがあるので$X_3=2$となる．$4$回で$1$となる自然数は，$\fbox{ア},\ 16,\ 6$の$3$つで$X_4=3$，同様にして，$X_5=\fbox{イ}$であることがわかる．
$n$回の操作で$1$になる偶数の個数を$E_n$，奇数の個数を$O_n$と書くと，$X_n,\ E_n,\ O_n$の間に \[ X_n=E_n+O_n \] が成立する．
$E_{n+1}$を$E_n$と$O_n$で表すと， \[ E_{n+1}=\fbox{ウ}E_n+\fbox{エ}O_n \] となる．また$n \geqq 2$の場合には，$O_{n+1}$を$E_n$と$O_n$で表すと， \[ O_{n+1}=\fbox{オ}E_n+\fbox{カ}O_n \] となる．これらの$2$つの漸化式をまとめて，$X_n$の漸化式を求めると \[ X_{n+2}=\fbox{キ}X_{n+1}+\fbox{ク}X_n \] となる．$X_1=1,\ X_2=1$だったので，$X_{10}=\fbox{ケ}\fbox{コ}$と求めることができる．
$X_n$の漸化式を解くことを考える．次の$2$次方程式を考えよう． \[ x^2-\fbox{キ}x-\fbox{ク}=0 \] この方程式の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$と書くと， \[ \alpha=\frac{\fbox{サ}+\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}},\quad \beta=\frac{\fbox{サ}-\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}} \] である．解と係数の関係 \[ \alpha+\beta=\fbox{セ},\quad \alpha\beta=\fbox{ソ} \] を用いることにより，$X_n$の漸化式は
$X_{n+2}-\alpha X_{n+1}=\beta(X_{n+1}-\alpha X_n)$および$X_{n+2}-\beta X_{n+1}=\alpha(X_{n+1}-\beta X_n)$
と書き直すことができる．したがって漸化式は，
$X_{n+2}-\alpha X_{n+1}=\beta^n (X_2-\alpha X_1)$および$X_{n+2}-\beta X_{n+1}=\alpha^n(X_2-\beta X_1)$
と解くことができる．これらから$X_{n+2}$を消去すれば，$X_{n+1}$が得られる．
(2) 数列$\{a_n\},\ n=1,\ 2,\ \cdots,$の間には次の漸化式 \[ a_{n+2}=\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{1}{2}a_n \] が成立し，$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\ a_2=\frac{3}{4}$であるとする．
この漸化式を解くために，$(1)$の解法を用い，次の$2$次方程式を考える． \[ x^2+\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}x+\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}=0 \] この$2$次方程式の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$と書き，$(1)$と同様に漸化式を書き直せば，
$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$および$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$
であることが分かり，これらから一般項$a_n$は \[ a_n=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}+\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \left( \frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \right)^n \] であることが分かる．
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