次の$\fbox{}$にあてはまる答を記せ．
(1) $k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$\fbox{ア}$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$\fbox{イ}$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\fbox{ウ}$である．
(2) 曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$\fbox{エ}$，共通の接線の方程式は$y=\fbox{オ}$である．
(3) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たす．このとき，$a_4=\fbox{カ}$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{キ}$である．また，$S_n=\fbox{ク}$である．
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(ⅰ) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\fbox{ケ}$である．
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\fbox{コ} \overrightarrow{b}+\fbox{サ} \overrightarrow{c}$である．
(ⅲ) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$\fbox{シ}$である．
(5) $\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．
(ⅰ) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ⅱ) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(ⅲ) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．
$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$\fbox{ス}$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$\fbox{セ}$である．