次の各文の$\fbox{}$にあてはまる数を求めよ．
(1) $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi,\ \cos \alpha=\frac{3}{5},\ \sin \beta=\frac{12}{13}$を満たす$2$つの角$\alpha,\ \beta$を考える．このとき，$\sin 2\alpha=\fbox{ア}$，$\tan (\alpha-\beta)=\fbox{イ}$，$\sin (2\alpha+\beta)=\fbox{ウ}$となる．
(2) 整式$P(x)$を$x^2-3x+2$で割ると$12x-5$余り，$x^2-x-2$で割ると$2x+15$余る．このとき，$P(x)$を$x-1$で割った余りは$\fbox{エ}$で，$x^2-1$で割った余りは$\fbox{オ}x+\fbox{カ}$である．
(3) $1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$7$個の数字すべてを横$1$列に並べるとき，並べ方は全部で$\fbox{キ}$通りである．そのうち，両端の数字が$3$と$4$となる並べ方は$\fbox{ク}$通り，$3$より左側に$1$が$2$個あるような並べ方は$\fbox{ケ}$通りである．
(4) $\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\theta$は$\fbox{コ}$度で，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$\fbox{サ}$である．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\fbox{シ} \overrightarrow{b}+\fbox{ス} \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\fbox{セ} \overrightarrow{b}+\fbox{ソ} \overrightarrow{c}$と表せる．