北里大学
2013年 医療衛生学部 第1問
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![次の各文の[]にあてはまる答を求めよ．(1)AB=4，AD=3である四角形ABCDにおいて，2本の対角線の交点Eは線分BDを3:2に内分し，線分ACを1:4に内分しているとする．ベクトルAB=ベクトルb，ベクトルAD=ベクトルdとおく．このとき，ベクトルベクトルACはベクトルAC=[ア]ベクトルb+[イ]ベクトルdと表せる．さらに，線分ACと線分BDが垂直に交わるとき，内積ベクトルb・ベクトルdの値は[ウ]であり，四角形ABCDの面積は[エ]である．(2)6人の生徒a，b，c，d，e，fを3つの部屋P，Q，Rに入れる．各部屋は6人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，3つの部屋への生徒の入れ方は全部で[オ]通りある．また，各部屋に2人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で[カ]通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で[キ]通りある．(3)xの関数f(x)をf(x)=∫_1^{2x}|t(t-x)|dtにより定める．このとき，f(x)≧0となるためのxの条件は[ク]である．また，f(1)の値はf(1)=[ケ]であり，x＞1のときのf(x)を求めるとf(x)=[コ]である．(4)三角形ABCの内心をIとし，三角形ABCの外接円と直線AIとの交点でA以外のものをDとする．AB=2，AC=3，AD=4のとき，cos∠BAD=[サ]であり，BD=[シ]，CD=[ス]，BC=[セ]である．](./thumb/198/2284/2013_1.png)
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次の各文の$\fbox{}$にあてはまる答を求めよ．
(1) $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{ア} \overrightarrow{b}+\fbox{イ} \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$\fbox{ウ}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\fbox{エ}$である．
(2) $6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$\fbox{オ}$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$\fbox{カ}$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$\fbox{キ}$通りある．
(3) $x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$\fbox{ク}$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=\fbox{ケ}$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=\fbox{コ}$である．
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=\fbox{サ}$であり，$\mathrm{BD}=\fbox{シ}$，$\mathrm{CD}=\fbox{ス}$，$\mathrm{BC}=\fbox{セ}$である．
(1) $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{ア} \overrightarrow{b}+\fbox{イ} \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$\fbox{ウ}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\fbox{エ}$である．
(2) $6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$\fbox{オ}$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$\fbox{カ}$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$\fbox{キ}$通りある．
(3) $x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$\fbox{ク}$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=\fbox{ケ}$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=\fbox{コ}$である．
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=\fbox{サ}$であり，$\mathrm{BD}=\fbox{シ}$，$\mathrm{CD}=\fbox{ス}$，$\mathrm{BC}=\fbox{セ}$である．
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