宇都宮大学
2016年 農学部 第5問
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![座標平面上の曲線C:y=sinπx(0<x<1/2)の上に点P(a,sinπa)をとる.点PにおけるCの接線と法線をそれぞれℓ,mとする.ℓとy軸の交点をQ(0,q),mとx軸の交点をR(r,0)とし,点Pからy軸に下ろした垂線の足をHとする.このとき,次の問いに答えよ.(1)接線ℓの方程式を求め,qをaを用いて表せ.(2)法線mの方程式を求め,rをaを用いて表せ.(3)曲線C,直線m,およびx軸によって囲まれる部分の面積をS(a)とする.S(a)をaを用いて表せ.(4)△PQHの面積をT(a)とする.極限値\lim_{a→0}\frac{S(a)}{T(a)}を求めよ.](./thumb/95/222/2016_5.png)
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座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \ \ \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる.点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$,$m$とする.$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$,$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし,点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2) 法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3) 曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
(1) 接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2) 法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3) 曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
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