東京工業大学
2011年 理系 第1問
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$n$を自然数とする.$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする.以下の問に答えよ.
(1) 原点O$(0,\ 0)$を通る直線で,その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し,この2直線の方程式を求めよ.
(2) (1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ.
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ.
(1) 原点O$(0,\ 0)$を通る直線で,その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し,この2直線の方程式を求めよ.
(2) (1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ.
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ.
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