大阪大学
2012年 理系 第3問
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![xyz空間に3点O(0,0,0),A(1,0,1),B(0,√3,1)がある.平面z=0に含まれ,中心がO,半径が1の円をWとする.点Pが線分OA上を,点Qが円Wの周および内部を動くとき,ベクトルOR=ベクトルOP+ベクトルOQをみたす点R全体がつくる立体をV_Aとおく.同様に点Pが線分OB上を,点Qが円Wの周および内部を動くとき,ベクトルOR=ベクトルOP+ベクトルOQをみたす点R全体がつくる立体をV_Bとおく.さらにV_AとV_Bの重なり合う部分をVとする.このとき,以下の問いに答えよ.(1)平面z=cosθ(0≦θ≦π/2)による立体Vの切り口の面積をθを用いて表せ.(2)立体Vの体積を求めよ.](./thumb/504/1065/2012_3.png)
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$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$,A$(1,\ 0,\ 1)$,B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある.平面$z=0$に含まれ,中心がO,半径が1の円を$W$とする.点Pが線分OA上を,点Qが円$W$の周および内部を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく.同様に点Pが線分OB上を,点Qが円$W$の周および内部を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく.さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2) 立体$V$の体積を求めよ.
(1) 平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2) 立体$V$の体積を求めよ.
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