お茶の水女子大学
2014年 理(数学科) 第3問
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$\triangle \mathrm{ABC}$が与えられているとする.以下の問いに答えよ.
(1) 辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が,それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$,$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする(即ち$0<s<1$,$0<t<1$とする).直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ.
(2) 直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする.$\ell$によって,$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形(三角形と四角形,またはふたつの三角形)に分割される.これらの図形の面積のうち,大きい方を$S_1$,小さい方を$S_2$とする.ただし,面積が等しい場合も同じ記号を用い,$S_1=S_2$とする.
(ⅰ) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ.
(ⅱ) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ.
(1) 辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が,それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$,$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする(即ち$0<s<1$,$0<t<1$とする).直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ.
(2) 直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする.$\ell$によって,$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形(三角形と四角形,またはふたつの三角形)に分割される.これらの図形の面積のうち,大きい方を$S_1$,小さい方を$S_2$とする.ただし,面積が等しい場合も同じ記号を用い,$S_1=S_2$とする.
(ⅰ) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ.
(ⅱ) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ.
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