帯広畜産大学
2010年 畜産学部 第1問
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自然数$n$に対して,$\{a_n\}$は初項$a$,一般項$a_n$の数列であり,$\{b_n\}$ \\
は初項$b$,一般項$b_n$の数列である.座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$, \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる.また,点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は,それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され,各点の位置関係は右図のようになる.ここで,$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し,また,$d>0$,任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する.
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(1) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ,それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい.
(2) 数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について,それぞれの一般項と,初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい.
(3) $\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき,$c$の値の範囲を求めなさい.
(4) $\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき,$c$の値を求めなさい.
(5) $\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて,$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$,$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する.$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき,$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい.
(1) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ,それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい.
(2) 数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について,それぞれの一般項と,初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい.
(3) $\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき,$c$の値の範囲を求めなさい.
(4) $\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき,$c$の値を求めなさい.
(5) $\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて,$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$,$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する.$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき,$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい.
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