宮崎大学
2016年 医学部 第5問
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![k>0,0<θ<π/2とする.座標平面上の原点O,点A(0,1)に対し,第一象限の点Pを,∠AOP=θを満たすように円D:x^2+y^2=1上にとり,直線OPと直線x=kθとの交点をQとする.θを0<θ<π/2の範囲で動かすときの点Qの軌跡を曲線y=f(x)とし,関数y=g(x)=\frac{f(x)}{x}で定める曲線をCとする.このとき,次の各問に答えよ.(1)r(θ)=OQとするとき,\lim_{θ→+0}r(θ)の値を求めよ.(2)点Qがつねに円Dの内部にあるためのkの条件を求めよ.(3)関数g(x)の増減と凹凸を調べ,曲線Cの概形をかけ.(4)曲線Cとx軸および2直線x=π/4k,x=π/3kとで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を,kを用いて表せ.](./thumb/735/3043/2016_5.png)
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$k>0$,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.座標平面上の原点$\mathrm{O}$,点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し,第一象限の点$\mathrm{P}$を,$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり,直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする.$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし,関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき,$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ.
(3) 関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.
(4) 曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$,$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を,$k$を用いて表せ.
(1) $r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき,$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ.
(3) 関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.
(4) 曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$,$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を,$k$を用いて表せ.
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